relazione di calcolo gamma

Relazione di calcolo Gamma Modificato dei solai in legno: formule e dati

Dopo una prima introduzione ai solai e alla realizzazione dei pannelli X-Lam incollati, questa settimana approfondiamo uno dei due metodi di calcolo evidenziati sui pannelli.

Cos’è il metodo di calcolo Gamma Modificato?

Il metodo riprende sostanzialmente quanto riportato nell’Allegato B, presente nell’Eurocodice 5, in merito alle “travi giuntate meccanicamente”. 

In questo caso, la deformabilità a taglio per “rolling shear” degli strati trasversali del pannello x-lam, che si oppongono allo scorrimento degli strati longitudinali, è tenuta in considerazione schematizzandoli come dei veri e propri “connettori deformabili equivalenti” ed utilizzando le relazioni riportate nell’Eurocodice 5 (ovviamente con le opportune modifiche). 

schema di calcolo solaio in legno

Il campo di applicabilità di tale metodo prevede sezioni fino a 5 strati con un massimo di 3 strati longitudinali.

Tale metodo prevede il calcolo dell’inerzia efficace della generica sezione nel seguente modo:

Jeff = Σ (Ji + γi * Ai * a2i)

dove:

Ai = area della sezione trasversale del singolo strato, per un metro di larghezza;
ai = distanza tra il baricentro dell’intera sezione e il baricentro del singolo strato;
Ji = momento di inerzia del singolo strato = 1/12 b*di3;
di = spessore del singolo strato del pannello x-lam;
ϒi = coefficiente che tiene conto della deformabilità a taglio degli strati trasversali.

La rigidezza flessionale efficace della sezione in x-lam, dovendo ovviamente prendere in considerazione la differenza fra i moduli di elasticità dei diversi strati di tavole (notevole differenza fra il valore di E90 ed E0), vale:

KM,eff = (EJ)eff = E0,mean * Jeff = E0,mean * [Σ (Ji + ϒi * Ai * a2i)]

L’espressione per il calcolo dei coefficienti ϒ riportata nell’Allegato B dell’Eurocodice 5 è:

ϒi = [1+(π2 * Ei,0,mean * Ai * si / l2ref * Ki)]-1

Dovendo valutare correttamente la rigidezza equivalente della sezione del pannello x-lam, è necessario modificare, introducendo il modulo elastico tangenziale per rotolamento delle fibre (GR) e lo spessore dello strato di tavole disposte ortogonalmente all’azione del carico (di), il valore del coefficiente ϒ riportato nell’Eurocodice 5.

Quindi si ha:

ϒi = [1+(π2 * Ei,0,mean * Ai  / l2ref * (Gri/di)*b)]-1

dove:

Ei,0,mean = modulo elastico medio parallelo;
Ai = area del singolo strato del pannello x-lam di largezza pari a b;
lref = lunghezza di riferimento;
Gr,i = modulo elastico tangenziale per rotolamento delle fibre;
di = spessore del singolo strato del pannello x-lam;
b = largezza del pannello x-lam.
La lunghezza di riferimento  (lref) può essere assunta pari a:

Trave semplice: lref = L
Trave continua: lref = 0,80 * L
Oltre all’inerzia effettiva si calcola inoltre l’inerzia netta, inerzia in assenza dei coefficienti ϒ, che vale:

Jnetto = Σ (Ji + Ai * a2i)

Verifica a flessione del pannello x-lam

La determinazione degli sforzi interni delle solette, realizzate con pannelli x-lam, può in molti casi partire dal principio che l’elemento di x-lam è sottoposto alla sollecitazione di flessione e taglio in una sola direzione del piano.

L’elemento inflesso diventa quindi l’elemento più semplice, e probabilmente anche quello più frequente, da calcolare e dimensionare. Il principio di calcolo indicato di seguito si applica comunque sia alla verifica della resistenza a flessione che a taglio del pannello x-lam, indipendentemente dal fatto che sia sollecitato in una sola oppure in entrambe le direzioni del suo piano.

La distribuzione delle sollecitazioni a flessione deve tenere conto della struttura a strati dell’elemento e delle differenti caratteristiche meccaniche dei singoli strati.

La distribuzione delle tensioni di flessione può essere determinata con la seguente espressione:

σm,y,d = (Mp,d/KM,eff) * ai * E0,mean

dove:

Mp,d = momento flettente di calcolo;
KM,eff = rigidezza efficace del pannello x-lam
ai = distanza dal baricentro della generica tavola considerata;
E0,mean = modulo elastico medio parallelo.
Nel caso specifico di una sezione in x-lam costituita da materiale della stessa classe di resistenza, il valore massimo della tensione di flessione è pari a:

σm,y,d = Mp,d / Weff

Weff = [KM,eff /( htot/2)] * (1/E0,mean)

dove:

Weff = modulo di resistenza efficace della sezione;

htot = Σdi = altezza totale della sezione;

E0,mean = modulo elastico medio parallelo.

La verifica a flessione, verifica di resistenza allo stato limite ultimo, del pannello x-lam (D.M. 2008 – par. 4.4.8.1.6) deve essere condotta nel seguente modo:

σm,y,d < fm,d

fm,d = fm,d,xlam = fm,d,BSH * ksys

dove:

σm,y,d = tensione di flessione prodotta dal momento flettente di calcolo;
fm,d,xlam = valore di calcolo della resistenza a flessione del pannello x-lam;
fm,d,BSH =  valore di calcolo della resistenza a flessione del lamellare della classe di resistenza relativa alle lamelle considerate;
ksys = coefficiente di sistema.

Il valore della resistenza a flessione del pannello x-lam può essere ammesso come corrispondente alla resistenza a flessione del legno lamellare realizzato con le lamelle di uguale classe di resistenza. La similitudine della composizione della sezione considerata, in relazione allo stato limite ultimo, e i risultati della ricerca scientifica giustificano questa conclusione.

Il coefficiente di sistema permette di aumentare la resistenza di un elemento strutturale composto da più componenti sollecitati in parallelo, cioè in modo da poter ridistribuire le sollecitazioni sui componenti più resistenti, alleviando quindi i più deboli.

relazione di calcolo

Il coefficiente di sistema è definito, fra l’altro, negli Eurocodici nella forma:

ksys = 1 + 0,025 * n

ksys,max = 1,1

dove:

n = numero di lamelle sollecitate nella direzione parallela alla direzione del carico.

Verifica a taglio del pannello x-lam

La verifica a taglio trasversale al piano della lastra (taglio dovuto a flessione) avviene seguendo il medesimo principio indicato per la verifica a flessione.

La determinazione delle tensioni di taglio sulla sezione considerata deve tener conto delle caratteristiche diverse dei singoli strati.

Gli strati con la fibratura trasversale, rispetto alla direzione considerata, sono ritenuti essenziali per la trasmissione della sollecitazione di taglio fra gli strati disposti parallelamente alla direzione considerata.

Il calcolo della distribuzione delle tensioni di taglio è dato dalla seguente relazione:

τz,d = (Va,d/Seff) / (Jeff * b)

dove:

τz,d = tensione di taglio di calcolo prodotta dal momento flettente;

Va,d = azione di taglio di calcolo;

Seff = momento statico efficace;

Jeff = momento di inerzia efficace;

b = larghezza del pannello oggetto di verifica.

La verifica dello stato limite ultimo deve tener conto del fatto che la resistenza a taglio dipende dalla direzione dell’orientazione della fibratura dell’elemento considerato.

Quindi, oltre alla verifica a taglio sulla base della resistenza a taglio usuale, occorre comunque verificare la resistenza a taglio negli strati trasversali, dove la resistenza a taglio risulta essere molto più ridotta.

Negli strati trasversali è determinante la resistenza a taglio trasversale, dove il collasso del materiale è dato dal raggiungimento della resistenza a trazione perpendicolare alla fibratura nella direzione della sollecitazione principale, inclinata di 45° rispetto all’asse dell’elemento considerato, o di inclinazione di +/- 45° delle tensioni principali.

Si parla in questo caso di taglio trasversale, indicandone la resistenza corrispondente con l’indice “r”, dalla definizione inglese di “rolling shear”, che a sua volta si ispira alla forma del collasso in questo caso particolare.

La verifica a taglio, verifica di resistenza allo stato limite ultimo, assume quindi la doppia forma (D.M. del 2008 – par. 4.4.8.1.9):

τz,d ≤ fv,d

τz,d ≤ fv,r,d = 2*ft,90,d

La resistenza a taglio fv, deve, secondo il modello di calcolo già citato, essere definita identica a quella del legno lamellare incollato della classe di resistenza corrispondente alla classe di resistenza delle lamelle che compongono il pannello x-lam.

Il medesimo principio vale per la determinazione della resistenza a taglio rotatorio, il cui valore è pari al doppio della resistenza a trazione perpendicolare alla fibratura secondo gli Eurocodici.

I valori di calcolo della resistenza si ottengono mediante le seguenti espressioni (D.M. 2008 – par. 4.4.6):

fv,d = (kmod * fv,k) / γm

fv,r,d = (kmod * fv,r,k) / γm = (kmod * 2*ft,90,k) / γm

A dipendenza della composizione del pannello x-lam e della direzione considerata, una delle due verifiche risulterà essere quella determinante. Di regola, visto il valore decisamente molto basso della resistenza a taglio rotatorio, questa verifica risulta determinante rispetto alla verifica a taglio longitudinale.

calcolo solaio casa di legno

Verifica di deformabilità del pannello x-lam

Lo stato limite di esercizio (SLE) è definito come lo stato al superamento del quale corrisponde la perdita di una particolare funzionalità che condiziona o limita la prestazione dell’opera. Per il calcolo dello stato limite di esercizio del caso semplice di un carico distribuito su tutta la superficie dell’elemento è sufficiente definire i valori della rigidezza a flessione (EIeff) del pannello x-lam in funzione della sua stratigrafia.

Le verifiche di deformabilità sono effettuate con riferimento alle azioni che ordinariamente agiscono sulla struttura.

I carichi permanenti sono considerati nel loro valore caratteristico (Gk); mentre per i carichi variabili (Qk) si considerano delle aliquote per variarne la probabilità di frequenza.

Nella valutazione dello stato deformativo di un pannello in x-lam si devono valutare sia la deformazione istantanea sia la deformazione a lungo termine. La deformazione a lungo termine può essere calcolata prendendo in considerazione i valori medi dei moduli elastici ridotti mediante il seguente fattore (par. 4.4.7 del D.M. 2008):

1 / (1 + kdef)

dove:

kdef = coefficiente che tiene conto dell’aumento di deformabilità del pannello x-lam causato dall’effetto combinato della viscosità e del tenore di umidità del materiale.

Nella valutazione dello stato deformativo si devono considerare le seguenti combinazioni di carico come riportato nelle Istruzioni del CNR-DT 206/2007 al par. 6.4.1:

combinazione rara:
Fd,rara = Gk + Qk

combinazione quasi permanente:
Fd,qperm = Gk + ψ21*Qk

Per il calcolo della deformazione istantanea (wist), si deve considerare la somma dei due seguenti contributi deformativi (CNR-DT 206/2007 – par. 6.4.1):

wist = wist,Gk + wist,Qk

Per un pannello x-lam semplicemente appoggiato si ha:

wist,Gk = (5/384)*(Gk*L4)/(E0,mean*Jeff)

wist,Qk = (5/384)*(Qk*L4)/(E0,mean*Jeff)

Tali contributi di deformazione possono essere scritti in funzione della rigidezza:

wist,Gk = (5/384)*(Gk*L4)/KM,eff

wist,Qk = (5/384)*(Qk*L4)/KM,eff

Alla deformazione istantanea, precedentemente calcolata, si deve sommare il valore della deformazione differita calcolata per la combinazione di carico quasi permanente (CNR-DT 206/2007 – par. 6.4.1). Nel calcolo della deformazione a lungo termine deve essere considerato il modulo elastico medio ridotto del fattore 1/(1+kdef).

In conseguenza di ciò si ha:

wdiff,Gk = (5/384)*(Gk*L4)*(1+kdef)/(E0,mean*Jeff)

wdiff,Qk = (5/384)*(Qk*L4)*(1+kdef)/(E0,mean*Jeff)

Tali contributi di deformazione possono essere scritti in funzione della rigidezza:

wdiff,Gk = (5/384)*(Gk*L4)*(1+kdef)/KM,eff

wdiff,Qk = (5/384)*(Qk*L4)*(1+kdef)/KM,eff

Il tutto può essere esplicitato anche nel modo segunte:

w’ist = wist,G +ψ21 * wist,Q1

la deformazione differita può essere valutata moltiplicando il tutto per kdef:

wdiff = w’ist * kdef

In definitiva si ha:

wfin = wist + wdiff = wist + w’ist *kdef

wfin = wist,G*(1+kdef) + wist,Q1*(1+ψ21*kdef)

dove:

wist,G = deformazione istantanea del carico permanente;

wist,Q = deformazione istantanea del carico accidentale.

Come riportato nelle Istruzioni del CNR-DT 206/2007 al par. 6.4.3 è opportuno limitare la freccia istantanea dovuta ai soli carichi variabili (wist,Q) al seguente valore:

wist(Q) ≤ L/300

Inoltre, è opportuno limitare la freccia finale (wfin) al seguente valore:

wfin ≤ L/250

Verifica appoggio del pannello x-lam

Il generico pannello x-lam, che costituisce il solaio, può andare in appoggio su un altro elemento strutturale (parete, pilastro, ecc..) generando una sollecitazione di compressione ortogonale in corrispondenza dell’appoggio stesso.

Occorre, pertanto, verificare il pannello x-lam alla compressione ortogonale.

Deve essere soddisfatta la seguente relazione (D.M. 2008 – par. 4.4.8.1.4):

σc,90,d ≤ Kc,90 * fc,90,d

dove:

σc,90,d = tensione di calcolo a compressione ortogonale alla fibratura;
fc,90,d = resistenza di calcolo a compressione ortogonale alla fibratura.
La tensione di compressione ortogonale in corrispondenza dell’appoggio si ricava con la seguente espressione (CNR-DT 206/2007 – par. 6.5.1.4):

σc,90,d = Va,d/Aeff

dove:

Va,d = azione di taglio agente in corrispondenza dell’appoggio;
Aeff = superficie efficace di contatto tra il pannello x-lam e l’appoggio.
L’area efficace di contatto risulta essere pari a:

Aeff = b*leff

dove:

b = larghezza dell’impronta del carico;
leff = lunghezza efficace di contatto nella stessa direzione della fibratura dello strato esterno che può essere aumentata fino a 30 mm da ambo i lati.
Verifica vibrazione del pannello x-lam

La verifica presente nelle Istruzioni del CNR-DT 206/2007 al par. 6.4.4 consiste nel verificare che la frequenza propria del solaio non deve essere inferiore a 6 Hz sotto una combinazione di carico quasi permanente.

La frequenza propria del solaio si calcola tramite la seguente espressione:

f = (π/l2)*((EJ)/m)0,5

dove:

f = frequenza propria del solaio;

l = luce di calcolo del solaio;

E = modulo elastico medio del materiale;

J = momento di inerzia efficace;

m = pesi permanenti agenti sul solaio.

Pannello x-lam 3 strati

Si riporta di seguito lo schema di un pannello x-lam costituito da 3 strati (n.2 strati longitudinali), per l’applicazione del metodo di calcolo precedentemente descritto.

strati longitudinali

Si riporta di seguito lo schema di un pannello x-lam costituito da 5 strati (n.3 strati longitudinali), per l’applicazione del metodo di calcolo precedentemente descritto.

schema pannello x lam 5 strati

Vi abbiamo descritto in maniera approfondita il Metodo di Calcolo Gamma Modificato per i pannelli X-Lam; per domande, delucidazioni o maggiori informazioni vi invitiamo a lasciare un commento qui sotto oppure ad inviare un´email a woodlab@rocketmail.com

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